Родился 1 октября 1919 года в деревне Обухово Бешенковичского района Витебской области (Белоруссия) в крестьянской семье. Окончил Витебский учительский институт. Преподавал историю в Плисской неполной средней школе Бешенковичского района.

В 1940 году призван в ряды Красной Армии. Окончил военно-авиационное училище. В боях Великой Отечественной войны с 1943 года. Принимал участие в освобождении Северного Кавказа, Крыма, Прибалтики. Воевал на 2-м Прибалтийском фронте.

6 мая 1944 года звено штурмовиков под командованием К.А. Абазовского в воздушном бою у Севастополя сбило 5 вражеских истребителей, сожгло на земле 8 самолётов и 2 склада противника с боеприпасами.

К августу 1944 года командир звена 190-го штурмового авиационного полка лейтенант К.А. Абазовский совершил 106 боевых вылетов, лично уничтожил и подбил 11 танков, 3 самолёта на земле, много автомашин и другой боевой техники.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 26 октября 1944 года за образцовое выполнение боевых заданий командования по уничтожению живой силы и техники противника и проявленные при этом мужество и героизм лейтенанту Константину Антоновичу Абазовскому присвоено звание Героя Советского Союза.

Но не суждено было отважному лётчику получить заслуженную награду Родины. По злой иронии судьбы Константин Антонович Абазовский погиб в воздушном бою 26 октября 1944 года — в день подписания Указа о присвоении ему звания Героя.

Награжден орденом Ленина, двумя орденами Красного Знамени, орденом Отечественной войны 2-й степени, двумя орденами Красной Звезды, медалями.