Родился 4 февраля 1920 года в селе Новиково ныне Староюрьевского района Тамбовской области в семье крестьянина.  Окончил неполную среднюю школу и школу ФЗУ речников. Работал рулевым пассажирского теплохода Московского речного пароходства. В РККА с 1939 года. Окончил 2-ю Борисоглебскую Краснознамённую военную авиационную школу лётчиков имени В.П.Чкалова в 1939 году.

Участник Великой Отечественной войны с июня 1941 года.

Звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" Алексею Ивановичу Балясникову присвоено 23 февраля 1945 года за 580 боевых вылетов, 145 воздушных боев, 16 лично и 5 в составе группы сбитых самолётов противника и 8 уничтоженных аэростатов-корректировщиков.

Один из лучших разведчиков истребительной авиации Гвардии Капитан Алексей Балясников, к концу войны совершил 620 боевых вылетов ( из них 507 - на разведку ), провел 148 воздушных боев, в которых сбил 28 самолетов лично и 8 в группе с товарищами. Войну закончил в Праге.

С декабря 1945 года - в запасе. Работал лётчиком в системе гидрометеослужбы в ГВФ. Затем был зам. директора Малинского лесотехнического техникума Житомирской области. Последние годы жил жил в Киеве. Награждён орденом Ленина, 2 орденами Красного Знамени, 2 орденами Отечественной войны 1 степени, медалями.

Умер 4 марта 1986 года.