Родился 19 октября 1920 года в селе Княжево ныне Моршанского района Тамбовской области (Россия) в крестьянской семье.

В Красной Армии с 1939 года. В 1941 году окончил Таганрогскую авиационную школу. Участник Великой Отечественной войны с июня 1941 года.

В ночь на 5 сентября 1942 года после удачной бомбардировки военных и военно-промышленные объектов Будапешта (столицы Венгрии — союзницы Германии) крылатая машина под командованием Д. И. Барашева была сбита. Экипаж был вынужден покинуть самолёт на парашютах. Дмитрий Барашев приземлился вблизи железнодорожной станции в пригороде Будапешта, но найти кого-либо из членов своего экипажа не удалось. Чтобы не попасть в руки врага лётчик спрятался в вагоне с углём, стоявшего на пути железнодорожного состава, на котором чудом сумел доехать до оккупированной Белоруссии. Здесь он сбежал из эшелона, попал в лес, где встретил партизан. Перейдя линию фронта, отважный советский лётчик пришёл в свою часть, и, несколько дней спустя, поднялся в воздух для выполнения очередного боевого задания.

Командир звена 752-го бомбардировочного авиационного полка (24-я авиационная дивизия, авиация дальнего действия) старший лейтенант Дмитрий Барашев к февралю 1943 года совершил 181 боевой вылет на бомбардировку объектов в тылу врага, в том числе 145 ночью.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 25 марта 1943 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистским захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм старшему лейтенанту Барашеву Дмитрию Ивановичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».

Возвращаясь с боевого задания, отважный лётчик авиации дальнего действия трагически погиб в авиационной катастрофе в ночь с 19-го на 20 августа 1943 года в 40 км южнее Липецка (невдалеке от села Боринское) вместе с двумя членами своего экипажа (штурманом-радистом лейтенантом В. Н. Травиным и стрелком-радистом старшиной Н. С. Подчуфаровым). Лётчики похоронены со всеми воинскими почестями в городе Липецке в сквере у площади Революции, где установлен памятник-обелиск.

Награждён орденом Ленина, двумя орденами Красного Знамени, медалями.