Родился 28 ноября 1919 года во Владивостоке (Россия) в семье крестьянина. С 1932 года жил в Свердловске. Окончил неполную среднюю школу и аэроклуб. Работал лётчиком-инструктором.

В РККА с 1940 года. Окончил Ульяновскую военную авиационную школу пилотов в 1941 году.

Участник Великой Отечественной войны с июня 1941 года. Младший лейтенант Барковский В.А. к маю 1942 года произвёл 96 боевых вылетов.

20 мая 1942 года вылетел на самолёте И-153 на перехват вражеского разведчика Ju-88, фотографировавшего военные объекты в городе Ельце Липецкой области. Барковский атаковал "юнкерс" над городом. Пулемётными очередями он заставил немца маневрировать и тем самым сорвал фотосъёмку. Стрелки "юнкерса" отвечали огнём. Вскоре Барковскому удалось поджечь вражеский самолёт. Тот развернулся и направился к линии фронта. Барковский попытался его добить, но у него кончились боеприпасы. Тогда он приблизился к "юнкерсу" вплотную и направил свою "чайку" на его фюзеляж. Сам погиб при таране.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 14 февраля 1943 года за исключительный героизм и самопожертвование во имя Родины Виктору Антоновичу Барковскому было посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.

Награждён орденом Ленина.