Родился 2 декабря 1919 года в селе Старая Збруевка, ныне Голопристанского района Херсонской области (Украина), в семье служащего. Окончил среднюю школу во Владивостоке. С детства увлекся боксом - начал заниматься в 1934 году в Воронеже, затем во Владивостоке. С 1937 года занятия боксом совмещал с занятиями в местном аэроклубе и далее в Читинской авиационной школе пилотов. С 1938 года на службе в рядах Красной Армии. Был победителем первенств военных училищ Северо - Кавказского военного округа 1939 - 1940 годов в полулегком весе. В 1940 году окончил Батайскую военную авиационную школу летчиков.

На фронтах Великой Отечественной войны с Апреля 1942 года. Командир эскадрильи 118-го отдельного разведывательно - корректировочного авиаполка ( 2-я Воздушная армия, 1-й Украинский фронт ) майор А. А. Баршт к Апрелю 1945 года совершил 365 успешных боевых вылетов, в воздушных боях лично сбил 4 самолета противника. 10 Апреля 1945 года за мужество и отвагу, проявленные в боях с врагами, ему было присвоено звание Героя Советского Союза ( орден "Золотая звезда" №:5997 ).

Абрек Аркадьевич, опытнейший пилот и воздушный разведчик, командовал разведэскадрильей летающей на "Яках". Несмотря на то, что при разведке и корректировке запрещено вступать в воздушный бой, ситуация иногда вынуждает принимать вызов или обороняться. На Як-9, с изображением пасти акулы на капоте, ему удалось сбить один самолет. Это был ведущий большой многоярусной группы "Фоккеров" - FW-190D-9 из VI./SG 77 в районе Ужгорода, южнее Львова, недалеко от Станислава (ныне Ивано-Франковск).

К концу войны майор А. А. Баршт, ставший одним из основателей метода корректировки артиллерийского огня с истребителя - 28 корректировок, совершил 369 боевых вылетов ( из них 240 - на разведку и корректировку ), в воздушных боях одержал 4 победы, на земле уничтожил 6 артиллерийских батарей, 50 танков, до батальона пехоты противника.

После окончания войны Абрек Аркадьевич продолжил службу в ВВС. В 1949 году окончил Военно - Воздушную академию. Военный летчик 1-го класса.

С 1978 года полковник А. А. Баршт - в запасе. Работал начальником учебно - летной базы Российского государственного гидрометеорологического университета. Вице - президент Северо - Западного регионального управления Федерации любителей авиации России.

За время службы награжден Орденами Ленина, Красного Знамени ( дважды ), Отечественной войны 1-й и 2-й степеней, Красной Звезды ( дважды ), 15-ю медалями, в том числе "За боевые заслуги" и "За освобождение Украины". Был членом Совета ветеранов 6-й армии ВВС и ПВО.

Умер 21 марта 2006 года.
 

Як-9 майора Баршта, 118 окрап, 1-й УФ, конец 1944 г.