Родился 11 декабря 1922 г. в д. Большой Ужин Старорусского района ныне Новгородской области  в семье крестьянина.

В ВМФ с 1940 г. В 1943 г. окончил Ейское военно-морское авиационное училище. В действующей армии с августа 1943 г. Летчик 51-го минно-торпедного ап 8-й минноторпедной ад ВВС КБФ лейтенант Богачев 12 октября 1944 г. в крейсерском полете потопил вражеский транспорт водоизмещением 12 тысяч тонн. Такой транспорт мог за один рейс взять на борт более 6 тысяч тонн груза или 200 средних танков. Всего летчик торпедировал и потопил на дальних коммуникациях в Балтийском море три транспорта общим водоизмещением 24 тысячи тонн.

6 марта 1945 г. А. А. Богачеву присвоено звание Героя Советского Союза. Полк получил наименование Таллинского. Он вел бои на подходах к портам Лиепаи, Вентспилса, Клайпеды, Гданьска и Балтийска.

С 1950 г. ст. лейтенант Богачев в запасе.

Награжден орденом Ленина, четырьмя орденами Красного Знамени, Отечественной войны, Красной Звезды, медалями.

Умер 12 августа 1978 г. Похоронен в г. Петродворце Ленинградской области.