Родился 15 августа 1914 года в селе Перелоги ныне Юрьев-Польского района Владимирской области в семье крестьянина. Окончил сельскую школу, школу ФЗУ во Владимире. В 1937 году окончил Тамбовскую авиационную школу ГВФ, в 1938 - курсы усовершенствования командного состава. Работал во Владимирском и Кольчугинском аэроклубах. В РККА с 1940 года. Окончил Остафьевскую военную авиационную школу пилотов в 1941 году.

Участник Великой Отечественной войны с декабря 1941 года.

Звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" Александру Ефимовичу Максимову присвоено 10 апреля 1945 года за 396 боевых вылетов, 53 воздушных боя и 19 сбитых самолётов противника.

Воевал до конца войны. Всего совершил 444 боевых вылета, в 68 воздушных боях сбил 22 самолёта противника.

После войны продолжал служить в ВВС. В 1953 году окончил Высшие лётно-тактические курсы усовершенствования офицерского состава. С 1961 года генерал-майор авиации Максимов - в запасе. Жил в Ярославле. 

Умер 23 марта 1984 года.

Награждён орденом Ленина, 3 орденами Красного Знамени, орденами Александра Невского, Отечественной войны 1 степени, 2 орденами Красной Звезды, медалями.