Родился 26 февраля 1916 года в селе Тулиновка, ныне Тамбовского района Тамбовской области, в семье рабочего. Окончил 7 классов начальной школы и 1 курс техникума механизаторов сельского хозяйства, затем работал электромонтером. В Красной Армии с 1939 года. Окончил Качинскую военную школу летчиков в 1938 году.

Участник Советско - Финской войны 1939 - 1940 годов.

На фронтах Великой Отечественной войны с июня 1941 года. Командир звена 147-го истребительного авиаполка (1-я смешанная авиационная дивизия, 14-я Армия, Карельский фронт) лейтенант А. П. Поздняков к Сентябрю 1941 года совершил 138 боевых вылетов на штурмовку и бомбардировку живой силы и техники противника, в воздушных боях сбил 2 самолета.

8 апреля 1942 года штурман 147-го ИАП капитан Поздняков погиб в воздушном бою на подступах к Мурманску, уничтожив тараном ведущего группы вражеских истребителей.

6 июня 1942 года ему было посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.

Похоронен в пос. Мурмаши Кольского района Мурманской области.