Родился 14 (27) декабря 1915 года в деревне Бурахино ныне Некрасовского района Ярославской области (Россия). Окончил 2 курса Ивановского строительного техникума. Работал бухгалтером на кожзаводе в Ярославле.

В армии с октября 1936. Служил матросом на Черноморском флоте. В 1937 окончил школу младших авиационных специалистов (г.Севастополь). До ноября 1940 служил стрелком-радистом в ВВС Черноморского флота. В феврале 1942 окончил Ейскую военную авиационную школу морских лётчиков, оставлен в ней лётчиком-инструктором.

Участник Великой Отечественной войны: в октябре 1942-мае 1945 – лётчик, командир звена, заместитель командира и командир авиаэскадрильи 3-го гвардейского истребительного авиационного полка (ВВС Балтийского флота). К маю 1944 года совершил 141 боевой вылет, в 32 воздушных боях сбил лично 14 и в составе группы 3 самолёта противника.

За мужество и героизм, проявленные в боях с немецко-фашистскими захватчиками, гвардии лейтенанту Шилкову Александру Анфимовичу Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 июля 1944 года присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (N4005).

Всего за время войны совершил 190 боевых вылетов на истребителях ЛаГГ-3, Ла-5 и Ла-7, в 40 воздушных боях сбил лично 19 и в группе 3 самолёта противника.

После войны продолжал службу в морской авиации. В 1947 окончил Высшие офицерские курсы авиации ВМФ. Командовал авиаэскадрильей в ВВС Черноморского флота, затем был заместителем командира авиаполка ВВС Северного флота. Летал на реактивных истребителях МиГ-15 и МиГ-17. В 1956 окончил авиационный факультет Военно-морской академии. Служил на штабных должностях в ВВС Черноморского флота. С августа 1960 – в отставке.

10 сентября 1960 года военным трибуналом Черноморского флота осуждён за изнасилование и приговорён к лишению свободы. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 января 1961 года лишён звания Герой Советского Союза.

Досрочно освобождён в октябре 1961 года. После освобождения жил в городе Саки (Крым).

Умер 9 апреля 1972 года.

Полковник (1957), военный лётчик 1-го класса (1953). Награждён орденом Ленина (1944), 5 орденами Красного Знамени (январь 1943, октябрь 1943, 1944, 1945, 1954), орденом Красной Звезды (1951), медалями.