Родился 12 февраля 1915 года в городе Кутаиси. Окончил военную авиационную школу пилотов. Служил в Московском военном округе.

Участник Великой Отечественной войны с июня 1941 года. Заместитель командира эскадрильи 11-го истребительного авиационного полка (6-й истребительный авиационный корпус, Московская зона ПВО) лейтенант Васильев Б.А. в ночь на 25 июля 1941 года патрулировал на самолёте Як-1 в районе аэродрома у станции Дорохово (Московская область). Когда дежурство уже подходило к концу, с земли поступила команда перехватить группу вражеских бомбардировщиков, следующих севернее зоны патрулирования на высоте 5000 м. Васильев увеличил скорость и, развернувшись с набором высоты, прямо перед собой обнаружил тройку бомбардировщиков Ю-88. Он направил свой истребитель в их сторону, намереваясь ударить по флагману. Внезапная атака сначала ошеломила немцев. Их строй распался. Но потом они пришли в себя и открыли огонь из всех точек по нашему истребителю. Разгорелся воздушный бой. В одной из атак Васильеву удалось поджечь один из двигателей самолёта ведущего. Но вскоре патроны кончились и Васильев принял решение таранить. Он отходит вправо вверх, затем, идя параллельно курсу фашистов, начинает снижаться, разгоняя самолёт. Набрав скорость, он доворачивает к хвосту ведущего. В самый последний момент "юнкерс" бросился в сторону, но это спасло не его, а Васильева. Он не столкнулся с врагом всей массой своего самолёта, а только задел крылом оперение вражеской машины. Вражеский бомбардировщик пошёл к земле, а Васильев приземлился на парашюте (по другим данным - приземлился в поле). 

По немецким данным летчик таранил Ju.88A-5 (F6+AO, W.Nr.0453) из состава 122-й разведывательной группы. Экипаж по сей день числится пропавшим без вести.  

За свой подвиг указом Президиума Верховного Совета СССР лейтенант Васильев Б.А. награждён орденом Ленина.

К сожалению его военная судьба оказалась недолгой и 24 октября 1941 года он погиб в воздушном бою  в районе Тучково.