Родился 26 августа 1921 года в деревне Горбачёво Одоевского района Тульской области, в семье крестьянина. С 1938 года работал электромонтёром на Ефремовском заводе синтетического каучука. Окончил Тульский аэроклуб. В Красной  Армии с 1940 года. В 1941 году окончил Тамбовскую военную авиационную школу пилотов.

На фронтах Великой Отечественной войны с августа 1942 года. Прошёл путь от лётчика до командира эскадрильи 76-го гвардейского штурмового авиационного полка. Когда враг рвался к Сталинграду, летчик И.А. Воробьев наносит бомбовые удары по фашистским войскам, рвущимся к Волге…

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 августа 1944 года за образцовое выполнение заданий командования в боях на территории Украины и в Крыму, Воробьёву Ивану Алексеевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда".

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 июня 1945 года гвардии майор Воробьёв Иван Алексеевич удостоен второй медали "Золотая Звезда".

За время Великой Отечественной войны гвардии майор И.А. Воробьев, воюя под Сталинградом, Севастополем, в Белоруссии и Восточной Пруссии, совершил 101 ночной боевой вылет на лёгком бомбардировщике По-2 и более 300 боевых вылетов на штурмовике Ил-2, в воздушных боях сбил 3 самолёта противника.

После войны продолжал служить в рядах Советской Армии, командовал эскадрильей и авиационным полком. В 1952 году окончил Военно-воздушную Краснознамённую академию. В 1956 году ему присвоено воинское звание "полковник". С 1958 года на преподавательской работе. 

С 1973 года полковник И.А. Воробьев - в запасе. Жил в городе Киеве. Умер в 1991 году.

Награждён орденом Ленина, 2 орденами Красного Знамени, орденами Отечеств, войны 1-й и 2-й степени, орденом Александра Невского, 2 орденами Красной Звезды и медалями.