Родился 12 декабря 1911 года в городе Москве в семье рабочего. После окончания в 1929 году школы ФЗУ работал помощником мастера ткацкого цеха на фабрике "Трёхгорная мануфактура", инструктором-механиком Александровского зерносовхоза Оренбургской области, а с марта 1931 года - слесарем машиностроительного завода в Москве. Член ВКП(б)/КПСС с 1938 года.

В Красной Армии с апреля 1933 года - по комсомольской путёвке поступил в Ейскую военно-морскую авиационную школу, которую окончил в 1934 году. С февраля 1934 года служил в авиационной части младшим лётчиком.

С 3 января по 14 августа 1937 года А.А. Зайцев в качестве добровольца участвовал в национально-революционной войне испанского народа 1936-1939 годов. По некоторым данным сбил 8 самолетам противника. Затем служил в ВВС РККА: был командиром эскадрильи и помощником командира 19-го истребительного авиационного полка.

С 11 мая по 16 сентября 1939 года капитан 3айцев А.А. участвовал в боях на реке Халхин-Гол (Монголия), командуя 70-м истребительным авиационным полком (1-я армейская группа), лётчики которого уничтожили 25 самолётов противника. Совершил 29 боевых вылетов и сбил шесть вражеских самолётов.

За умелое командование эскадрильями полка и личный героизм в боях капитану Зайцеву Александру Андреевичу 17 ноября 1939 года присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 170).

Во время советско-финляндской войны 1939-1940 годов А.А. Зайцев командовал авиационной группой 8-й армии, а затем продолжал службу в должности инспектора по технике пилотирования дивизии и корпуса в Закавказском военном округе.

С июля 1941 года по январь 1942 года учился в Военной академии командного и штурманского состава ВВС, после чего служил лётчиком-испытателем НИИ ВВС.

На фронтах Великой Отечественной войны с августа 1942 года. Воевал с немецко-фашистскими захватчиками на различных фронтах в должности командира эскадрильи и 431-го ИАП. За этот период совершил 76 боевых вылетов и сбил 1 самолет противника.

После войны продолжал службу в ВВС СССР. С 1952 года подполковник 3айцев А.А. - в отставке по болезни. Жил в Москве, где и скончался 25 декабря 1965 года.

Награждён орденом Ленина, 2 орденами Красного Знамени, орденами Суворова 3-й степени, Александра Невского, 2 орденами Красной Звезды, медалями.