Родился 26 декабря 1937 года в городе Сталинграде (ныне Волгоград) в семье рабочего. Русский. Член КПСС с 1961 года. После окончания средней школы в 1955 году поступил в Батайское военное авиационное училище лётчиков, которое окончил в 1959 году. Служил в различных местах. Последним местом службы стал гарнизон в районе города Вазиани (Грузия).

Заместитель командира эскадрильи 982-го истребительного авиационного полка (34-я воздушная армия, Закавказский ВО) капитан Елисеев Г.Н. 28 ноября 1973 года нёс боевое дежурство на аэродроме Вазиани. В районе Муганской долины (Азербайджанская ССР) Государственную границу СССР нарушил самолёт F-4 "Фантом" (T-33 ?) ВВС Ирана. По команде с КП он сначала занял готовность ¦1, а потом взлетел на истребителе МиГ-21СМ на перехват самолёта-нарушителя. Капитан Елисеев настиг нарушителя недалеко от границы. С земли поступил приказ: "Цель уничтожить!". Елисеев пустил 2 ракеты, но они прошли мимо. С КП поступил приказ капитана Чёрного пресечь полёт противника любой ценой. Елисеев ответил: "Выполняю!". Видимо Елисеев забыл, что его самолёт (единственный в полку) вооружён пушкой, и решил пойти на таран. Он сблизился с самолётом-нарушителем и крылом своего истребителя нанёс удар по его хвостовому оперению. Тот пошёл вниз. Экипаж в составе американского инструктора и иранского учлёта катапультировался и был задержан пограничниками. Самолёт Елисеева после тарана врезался в гору, лётчик погиб. Произошло это в 13.15.

За мужество и героизм, проявленные при выполнении задания по присечению полёта самолёта-нарушителя, капитану Елисееву Г.Н. 14 декабря 1973 года посмертно присвоено звание Героя Советского Союза. Награждён орденом Ленина, медалями. Похоронен в городе Волгограде, где его именем названа улица и установлена мемориальная доска. Навечно зачислен в списки воинской части. Семья Елисеева в настоящее время проживает в городе Минске (Белоруссия).